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電子結構分析【03】——如何分析態密度以及相關性質？

來源：時間：2023-10-20 17:53:02 瀏覽：52834次

在上一期推文中“電子結構分析——關于能帶的那些事兒（下）”中，我們簡單介紹了能帶分析電子結構的分析方法。這一期文章，我們介紹與能帶分析關系頗深的電子結構分析方法——態密度分析。

能帶與態密度（DOS）

我們之前說到，能帶圖的橫軸是k（k正比于電子的晶體動量），縱軸是能量E，能帶圖中的那些曲線上的每一個點，都代表一個電子可以取的（k，E）態。那么態密度圖呢，可以看作是與能帶圖共用一個能量軸，而把每一個能量值所在的能量軸位置的小的能量區間里所有的電子可以取的（k，E）態的數量全部加起來（再除以能量區間的寬度，參見微分的定義），得到的“電子可以取的態的密度”對能量的函數。

所以，就如圖1所展現的那樣，圖左邊的黑色的曲線就是能帶，圖右邊紅色的曲線就是態密度，它們共用一個能量軸，在能帶密集的能量區域，態密度就高，能帶稀疏的能量區域，態密度就低，在沒有能帶分布的能量區間里，態密度就等于零。

圖1 能帶與態密度的關系

從上面能帶與態密度的關系的描述可以看出，態密度可以看作是能帶圖的一個縮略版本，它保留了能帶圖中的一部分信息，而舍棄了另一部分信息。能帶圖中可以看到的允帶，禁帶，費米能級，這些都可以在態密度圖中間看到。態密度等于零的部分就是禁帶，不等于零的部分就是允帶，而費米能級則是能帶與態密度共用的。

同樣的，態密度圖與能帶圖一樣，都可以分析一個固體體系是導體還是絕緣體/半導體，因為與能帶圖一樣，態密度圖也能比較費米能級位于一個能帶的半中腰還是頂部，前者代表系統是導體，后者代表系統是絕緣體或者半導體。

而態密度略去的信息則包括價帶頂與導帶底在k空間中的位置關系，所以能帶可以分析直接帶隙與間接帶隙，態密度則不能。另外對于半導體來說，能帶圖中可以分析價帶頂和導帶底的能量對k的二階導，從而得到有效質量，而態密度圖則不能得到這樣的信息。

由此可見，如果僅僅是分析材料的導電性能，以及帶隙的信息，那么態密度圖比能帶圖要更加簡潔。它略去了能量與動量的復雜關系，而專注于哪些能量區間有態的分布，以及費米能級與這些態分布之間的關系。這就是為什么在很多論文中只有態密度分析，而沒有能帶圖的原因。

分波態密度

分波態密度（Projected Density of State, PDOS），是將態密度投影到每個原子軌道之后得到的態密度的分量。從分波態密度中，我們可以分析每個原子分別對態密度的貢獻，甚至每個原子的每個原子軌道（也就是s、p、d、f軌道）對態密度的貢獻。

當然這個分波投影的計算往往不是完全精確的，所以把所有的分波態密度加起來，得到的分波態密度之和往往比總臺密度要小。即便是這樣，PDOS的這些精細的信息對我們分析材料的性質有很大的幫助。我們舉幾個例子看看分波態密度的應用。

圖2 N_s-F_s摻雜對二氧化鈦PDOS的影響

第一個例子我們看圖2，左邊的圖是沒有摻雜的二氧化鈦的DOS，可以看到帶隙計算出來是3eV左右，右圖是摻了替代F和替代N的二氧化鈦，計算出來的態密度，帶隙變成了2.5eV左右。如果只看態密度，那么我們就只能知道帶隙的變窄了。

而當我們計算出分波態密度，得到了圖中不同顏色代表不同原子軌道的分波態密度的圖，我們就可以知道，這個能隙變窄的變化到底是由誰造成的。我們看到左圖中價帶頂主要是氧的2p軌道，而右圖中，在能量高于氧2p軌道的區域，有一些被電子占據的氮2p軌道，正是這些多出來的氮2p軌道帶來了體系的帶隙變窄。這就使我們對材料性質的了解多了一些深度。